【概率统计】随机变量函数的分布

1. 离散情形

1.1. 随机变量函数的概念

设$X$是一个随机变量,$Y=g(X)$是X的函数,那么$Y$也是一个随机变量。因$X$取一些随机值时,$Y$亦随着X的变化而变化,因此$Y$取一些相应的随机值,故一般地,$Y$也是一个随机变量。
当$X$是离散型,$Y=g(X)$也是离散型的;当$X$是连续型的,$Y=g(X)$通常也是连续型。

1.2. 一维离散型随机变量函数的分布

设$X$有分布$p\lbrace X = x_k \rbrace = p_k,k=1,2,\cdots$,则$Y=g(X)$的分布律如下:

$X$ $x_1$ $x_2$ $\cdots$ $x_k$ $\cdots$
$Y$ $g(x_1)$ $g(x_2)$ $\cdots$ $g(x_k)$ $\cdots$
$P\lbrace X=x_k\rbrace$ $p_1$ $p_2$ $\cdots$ $p_k$ $\cdots$

注意: 若有若干个$i=1,2,\cdots$使得$g(x_i)$相等,则应当合并,相应概率应当相加。

1.3. 二维离散型随机变量函数的分布

设$(X,Y)$有分布$p\lbrace X = x_i,Y=y_j \rbrace = p_{ij},i,j=1,2,\cdots$,则$Y\Z=g(X,Y)$的分布律如下:

$(X,Y)$ $(x_1,y_1)$ $(x_1,y_2)$ $\cdots$ $(x_1,y_n)$ $(x_2,y_1)$ $\cdots$
$Z$ $g(x_1,y_1)$ $g(x_1,y_2)$ $\cdots$ $g(x_1,y_n)$ $g(x_2,y_1)$ $\cdots$
$P\lbrace X=x_i,Y=y_j\rbrace$ $p_{11}$ $p_{12}$ $\cdots$ $p_{1n}$ $p_{21}$ $\cdots$

注意: 若有若干个$i,j=1,2,\cdots$是的$g(x_i,y_j)$相等,则应当合并,相应概率应当相加。

2. 连续情形

2.1. 一维连续随机变量函数的分布

设$X$有密度函数$f_X(x)$,$Y=g(X)$,则按照如下方法求$Y$的密度函数$f_Y(y)$:
1. 确定$Y$的值域$R(Y)$。
2. 对任意的$y\in R(Y)$,求出$Y$的分布函数:
$$F_{Y}(y)=P\lbrace Y \leq y\rbrace = P\lbrace g(X) \leq y\rbrace =P\lbrace X \in G(y)\rbrace = \int_{G(N)} f_{X}(x) d x$$ 其中$G(Y)$由不等式$g(X)\leq y$解出,积分部分一般不积出。
3. 利用变上限函数求导$F_{Y}^{\prime}(y)=f_{Y}(y) \quad y \in R(Y)$
即:
$$f_{Y}(y)=\frac{d}{d y} \int_{G(y)} f_{X}(x) d x , y \in R(Y) \ f_{Y}(y)=0, y \notin R(Y)$$

2.2. 二维连续随机变量函数的分布

设$(X,Y)$是二维连续随机变量,其联合密度为$f(x,y)$,又设$Z=g(X,Y)$则Z是一维随机变量,则可按照如下分布函数法求$Z$得密度函数$f_Z(z)$:
1. 确定$Z$的值域$R(Z)$。
2. 对任意的$Z\in R(Z)$,求出$Z$的分布函数:
$$F_{Z}(z)=P{Z \leq z}=P{g(X, Y) \leq z}=P{(X, Y) \in G(z)}=\iint_{G(z)} f(x, y) d \sigma$$
3. 求导$f_{z}(z)=F_{z}^{\prime}(z) z \in R(Z)$
即:
$$f_{z}(z)=F_{z}^{\prime}(z),z \in R(Z) \ f_{z}(z)=0 ,z \notin R(Z)$$

2.3. 和的分布

若$Z=X+Y$,$(X,Y)$的联合密度为$f(x,y)$,则$Z$的密度函数为:
$$f_{z}(z)=\int_{-\infty}^{+\infty} f(x, z-x) d x=\int_{-\infty}^{+\infty} f(z-y, y) d y$$特别地,当$X,Y$独立时:
$$f_{z}(z)=\int_{-\infty}^{+\infty} f_{X}(x) f_{Y}(z-x) d x=\int_{-\infty}^{+\infty} f_{X}(z-y) f_{Y}(y) d y$$

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