1. 离散情形

1.2. 一维离散型随机变量函数的分布

$X$ $x_1$ $x_2$ $\cdots$ $x_k$ $\cdots$
$Y$ $g(x_1)$ $g(x_2)$ $\cdots$ $g(x_k)$ $\cdots$
$P\lbrace X=x_k\rbrace$ $p_1$ $p_2$ $\cdots$ $p_k$ $\cdots$

1.3. 二维离散型随机变量函数的分布

$(X,Y)$ $(x_1,y_1)$ $(x_1,y_2)$ $\cdots$ $(x_1,y_n)$ $(x_2,y_1)$ $\cdots$
$Z$ $g(x_1,y_1)$ $g(x_1,y_2)$ $\cdots$ $g(x_1,y_n)$ $g(x_2,y_1)$ $\cdots$
$P\lbrace X=x_i,Y=y_j\rbrace$ $p_{11}$ $p_{12}$ $\cdots$ $p_{1n}$ $p_{21}$ $\cdots$

2. 连续情形

2.1. 一维连续随机变量函数的分布

1. 确定$Y$的值域$R(Y)$。
2. 对任意的$y\in R(Y)$，求出$Y$的分布函数：
$$F_{Y}(y)=P\lbrace Y \leq y\rbrace = P\lbrace g(X) \leq y\rbrace =P\lbrace X \in G(y)\rbrace = \int_{G(N)} f_{X}(x) d x$$ 其中$G(Y)$由不等式$g(X)\leq y$解出，积分部分一般不积出。
3. 利用变上限函数求导$F_{Y}^{\prime}(y)=f_{Y}(y) \quad y \in R(Y)$

$$f_{Y}(y)=\frac{d}{d y} \int_{G(y)} f_{X}(x) d x ， y \in R(Y) \ f_{Y}(y)=0, y \notin R(Y)$$

2.2. 二维连续随机变量函数的分布

1. 确定$Z$的值域$R(Z)$。
2. 对任意的$Z\in R(Z)$，求出$Z$的分布函数：
$$F_{Z}(z)=P{Z \leq z}=P{g(X, Y) \leq z}=P{(X, Y) \in G(z)}=\iint_{G(z)} f(x, y) d \sigma$$
3. 求导$f_{z}(z)=F_{z}^{\prime}(z) z \in R(Z)$

$$f_{z}(z)=F_{z}^{\prime}(z),z \in R(Z) \ f_{z}(z)=0 ,z \notin R(Z)$$

2.3. 和的分布

$$f_{z}(z)=\int_{-\infty}^{+\infty} f(x, z-x) d x=\int_{-\infty}^{+\infty} f(z-y, y) d y$$特别地，当$X,Y$独立时:
$$f_{z}(z)=\int_{-\infty}^{+\infty} f_{X}(x) f_{Y}(z-x) d x=\int_{-\infty}^{+\infty} f_{X}(z-y) f_{Y}(y) d y$$

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