【概率统计】随机事件与概率(二)

1.条件概率与乘法公式

  • 条件概率
    事件B已发生的条件下,事件A发生的概率。记为P(A|B)
    条件概率P(A|B)反映了事件的先后主从关系。
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  • 条件概率公式
    \begin{equation}
    P(A|B)=\frac{P(AB)}{P(B)}
    \end{equation}
  • 乘法公式
    \begin{equation}
    P(AB)=P(A|B)P(B)=P(B|A)P(A)
    \end{equation}
  • 乘法公式推广
    \begin{equation}
    P(A_1A_2A_3)=P((A_1A_2)A_3)=P(A_1A_2)P(A_3|(A_1A_2))=P(A_1)P(A_2|A_1)P(A_3|A_1A_2)
    \end{equation}

2.全概率公式(知因求果)

  • 划分
    事件B_1,B_2,...,B_n为样本空间\Omega的自制件,且满足以下两个条件:
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    则称B_1,B_2,...,B_n为样本空间\Omega的以组划分。
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  • 全概率公式
    P(B_i)>0,(i=1,2,3,...,n),且A\subset\Omega,则有:

  • 注意
    1.所求事件的概率受到多个因素的影响。
    2.分析清楚哪些事件对A有概率贡献,所以一定要注意把温杯时间组描述清楚。
    3.全概率公式中要用到的条件概率,一般是根据实际情况直接得到的。

3.贝叶斯公式(执果探因)

设随机试验E的样本空间为\OmegaAE的事件,B_1,B_2,...,B_n\Omega的一个划分,且P(A)>0\space P(B_i)>0\space (i=1,2,...,n),则:

4.事件的独立性

  • 两个事件独立
    • 定义1
      对于事件A、B,若有P(A)P(B)=P(AB),则称事件A与B相互独立,简称独立。
    • 性质
      若事件A与B独立,那么A\overline{B}B\overline{A}\overline{A}\overline{B}也独立。
    • 定理1
      如果四对事件A,BA,\overline{B}\overline{A},B\overline{A},\overline{B}之中有一对相互独立,则另外三队也相互独立。
  • 三个事件独立
    • 定义2
      如果事件A、B、C满足下列条件:
      1.P(ABC)=P(A)P(B)P(C)
      2.P(AB)=P(A)P(B)
      \space \space P(AC)=P(A)P(C)
      \space \space P(BC)=P(B)P(C)
      则称A、B、C是相互独立的。如果仅有2式成立,则称事件A、B、C是两两独立的。
      相互独立一定两两独立,反之不然
  • n个事件独立
    • 定义3
      设有n个事件A_1,A_2,A_3,...,A_n,若对其中任意m(2\le m\le n)个事件A_{i1},A_{i2},...,A_{im}都有P(A_{i1}A_{i2}...A_{im})=P(A_{i1})P(A_{i2})...P(A_{im}),则称事件A_1,A_2,...,A_n相互独立。
    • 定理2
      n个事件A_1,A_2,...,A_n相互独立,则其中任意m(2\le m\le n)个事件也相互独立,将其中任意m(1\le m\le n)个事件换成对立事件后仍相互独立。
  • 注意
    1.相互独立\not =互不相容
    2.相互独立则两两独立,反之不一定成立。

5.伯努利概型

  • 特点
    1.试验可重复n次。
    2.每次试验只有两个可能结果A,\overline{A}
    3.n次试验相互独立——每次试验结果与其它次试验无关。
    n重伯努利试验中事件A出现k次的概率记为:
    \begin{equation}
    P_{\color{red}n}(k)
    \end{equation}
  • 二项概率公式
    一般地,二项概率公式:
    \begin{equation}
    P(A)=p,\space P(\overline{A})=1-p=q
    \end{equation}
    n重伯努利试验中A恰好发生k次的概率:
    \begin{equation}
    P_n(k)=\color{red}{C_n^k}p^kq^{n-k}
    \end{equation}
    P_n(k)可视为二项式 (p+q)^n展开式中的一般想,故称为二项概率公式。

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