【概率统计】一维离散型随机变量

1.随机变量

  • 定义
    设随机试验$E$的样本空间为$\Omega$,样本点为$\omega$。如果对于任意一个$\omega\in\Omega$,总有一个实数$X(\omega)$与之对应,则称定义于样本空间$\Omega$上的单值实函数$X(\omega)$为随机变量,一般简写为$X$。
  • 分类
    随机变量可分为离散型随机变量连续性随机变量

2.一维离散型随机变量及其分布列

  • 一维离散型随机变量
    如果随机变量的全部可能取的值只有有限个可列无限多个,则称这种随机变量为一维离散型随机变量。
  • 概率分布(分布律)
    称$P\left(X=x_{i}\right)=p_{i}, \space i=1,2, \cdots$为$X$的概率分布(分布律)。
$X$ $x_1$ $x_2$ $\cdots$ $x_n$ $\cdots$
$P$ $p_1$ $p_2$ $\cdots$ $p_n$ $\cdots$

$(1) 0 \leq p_{i} \leq 1 ; \quad(2) \sum_{i} p_{i}=1$

3.0-1分布

  • 定义
    在一次试验中,事件$A$发生的概率为$p$,不发生的概率为$q=1-p$, 若以$X$记随机事件$A$发生的次数,则称$X$服从$(0-1)$分布,并记为$X~(0-1)$分布。
$X$ $0$ $1$
$P$ $1-p$ $p$
  • 特点
    只有两个可能结果$A,\bar{A}$。

4.几何分布

  • 定义
    设随机变量$X$的分布律为$P(X=k)=(1-p)^{k-1} p, k=1,2, \cdots$,则称设随机变量$X$服从几何分布,即随机变量$X$分布律可以列表为:
$X$ $1$ $2$ $\cdots$ $k$ $\cdots$
$P$ $p$ $(1-p)p$ $\cdots$ $(1-p)^{k-1} p$ $\cdots$
  • 特点
    $P{X=k} \geq 0$,$\sum_{k=1}^{\infty} P{X=k}=1$

5.二项分布

  • 定义
    在$n$重伯努里试验中,记$X$表示事件$A$出现的次数,$X$可能的取值为$0,1,2,\cdots ,n$,$A$发生的概率为$p$,则$X$的概率分布为:
    $$P(X=k)=B_{n}(k)=C_{n}^{k} p^{k}(1-p)^{n-k},(k=0, \cdots, n)$$
    则称$X$服从参数为$n,p$的二项分布,记为$X~B(n,p)$。

6.泊松(Poisson)分布

  • 定义
    若变量$X$的分布律为:
    $$P(X=k)=\frac{\lambda^{k}}{k !} e^{-\lambda},(k=0,1, \cdots, \lambda>0)$$
    则称$X$服从参数为$\lambda$的泊松分布,记为$X \sim P(\lambda)$。
  • 泊松定理
    设随机变量${X}{n} \sim{B}\left({n}, {p}{n}\right)$(这里的$p_n$是与$n$有关的数,$bp_n=\lambda>0$是常数),$n=1,2,\cdots$,则有:
    $$\lim {n \rightarrow \infty} P\lbrace X{n}=k\rbrace =\frac{\lambda^{k}}{k !} e^{-\lambda}, k=0,1, \cdots, n, \cdots$$
    该定理表示当$n$充分大时,$P\lbrace X_{n}=k\rbrace \approx \frac{\lambda^{k} e^{-\lambda}}{k !}$,在实际问题中,当$n \geq 10, p_{n} \leq 0.1$,就可采取简化。
  • 证明
    $$\begin{aligned}
    &\because p_{n}=\frac{\lambda}{n}\
    &\therefore C_{n}^{k} p_{n}^{k}\left(1-p_{n}\right)^{n-k}\
    &=\frac{n(n-1) \cdots(n-k+1)}{k !}\left(\frac{\lambda}{n}\right)^{k}\left(1-\frac{\lambda}{n}\right)^{n-k}\
    &=\frac{\lambda^{k}}{k !}\left[1 \cdot\left(1-\frac{1}{n}\right) \cdots\left(1-\frac{k-1}{n}\right)\right]\left(1-\frac{\lambda}{n}\right)^{n}\left(1-\frac{\lambda}{n}\right)^{-k}
    \end{aligned}$$
    对任一固定的$k$,当$n \rightarrow \infty$时:
    $$\begin{aligned}
    &\left(1-\frac{\lambda}{n}\right)^{n} \rightarrow e^{-\lambda},\left(1-\frac{\lambda}{n}\right)^{-k} \rightarrow 1\
    &\left(1-\frac{1}{n}\right)\left(1-\frac{2}{n}\right) \cdots\left(1-\frac{k-1}{n}\right) \rightarrow 1
    \end{aligned}$$
    故:
    $$\lim {n \rightarrow \infty} C{n}^{k} p_{n}^{k}\left(1-p_{n}\right)^{n-k}=\frac{\lambda^{k} e^{-\lambda}}{k !}$$
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