1.二维随机变量
- 定义
设$X,Y$是定义在样本空间$\Omega$上的两个随机变量，则$(X,Y)$称为二维随机变量。 - 说明
二维随机变量$(X,Y)$的性质与$X,Y$有关，还依赖于$X$与$Y$的相互关系。
2.二维随机变量的分布函数
- 定义
对于任意实数$x,y$，函数$F(x, y)=P\lbrace X \leq x, Y \leq y\rbrace$称为二维随机变量$(X,Y)$的分布函数，或称为随即比那辆$X$和$Y$的联合分布函数。 - 推广
点$(X,Y)$落入任一矩形$G=\lbrace (x, y) | x_{1} < x < x_{2}, y_{1} < y < y_{2}\rbrace$的概率$P\lbrace x_{1} < X < x_{2}, y_{1} < Y < y_{2}\rbrace =F\left(x_{2}, y_{2}\right)-F\left(x_{1}, y_{2}\right)-F\left(x_{2}, y_{1}\right)+F\left(x_{1}, y_{1}\right)$。 - 性质
- $0 \leq F(x,y) \leq 1$且对任意固定$y$，$F(-\infty,y)=0$，对任意固定$x$，$F(x,-\infty)=0$，$F(-\infty,-\infty)=0$，$F(+\infty,+\infty)=1$。
- $F(x,y)$是$x$或$y$的不减函数。
- $F(x+0, y)=F(x, y), F(x, y+0)=F(x, y)$
- 对任意的$\left(x_{1}, y_{1}\right),\left(x_{2}, y_{2}\right), x_{1}<x_{2}, y_{1}<y_{2}$，有$F\left(x_{2}, y_{2}\right)-F\left(x_{1}, y_{2}\right)-F\left(x_{2}, y_{1}\right)+F\left(x_{1}, y_{1}\right) \geq 0$。
3.二维离散型随机变量
若二维随机变量$(X,Y)$的可能取值$(x_i,y_j)$只有有限对或可列无限对，则称$(X,Y)$是二维离散型随机变量。记:
$$P \lbrace X=x_{i}, Y=y_{j} \rbrace =p_{i j}\quad, i, j=1,2, \dots$$并称为二维离散型随机变量$(X,Y)$的分布律或称为随机变量$X$和$Y$的联合分布律。
其中，$p_{ij}$满足:
$$\begin{array}{ll}
\text { (1) } p_{i j} \geq 0 & \text { (2) } \sum_{i=1}^{\infty} \sum_{j=1}^{\infty} p_{i j}=1
\end{array}$$离散型随机变量$X,Y$，它们的联合分布律克表示为下表:
| $y_1$ | $y_2$ | $\cdots$ | $y_j$ | $\cdots$ | |
|---|---|---|---|---|---|
| $x_1$ | $p_{11}$ | $p_{12}$ | $\cdots$ | $p_{1j}$ | $\cdots$ |
| $x_2$ | $p_{21}$ | $p_{22}$ | $\cdots$ | $p_{2j}$ | $\cdots$ |
| $\cdots$ | $\cdots$ | $\cdots$ | $\cdots$ | $\cdots$ | $\cdots$ |
| $x_i$ | $p_{i1}$ | $p_{i2}$ | $\cdots$ | $p_{ij}$ | $\cdots$ |
| $\cdots$ | $\cdots$ | $\cdots$ | $\cdots$ | $\cdots$ | $\cdots$ |
其联合分布函数:
$$F(x, y)=\sum_{x_{i} \leq x} \sum_{y_{j} \leq y} p_{i j}$$
4.二维连续型随机变量
- 定义
设$(X, Y)$为二维随机变量， $F(x, y)$为$(X, Y)$的分布函数。若存在一个非负函数$f(x, y)$，对于任意的$(x, y)$都有:
$$F(x, y)=\int_{-\infty}^{x} \mathrm{d} x \int_{-\infty}^{y} f(x, y) \mathrm{d} y$$则称随机变量$(X, Y)$为二维连续型随机变量，并称$f(x, y)$为$(X, Y)$的联合密度函数。 - 性质
- $f(x,y)\geq 0$
- $\int_{-\infty}^{+\infty} \mathrm{d} x \int_{-\infty}^{+\infty} f(x, y) \mathrm{d} y$
- 在$F(x,y)$二阶混合偏导存在处，有:
$$\frac{\partial^{2} F}{\partial x \partial y}(x, y)=f(x, y)$$ - 设$D$是$xOy$平面上的区域，点$(X,Y)$落在区域$D$内的概率为:
$$P\lbrace(X, Y) \in D\rbrace=\iint_{D} f(x, y) d x d y$$
5.边缘分布
- 离散型情形
对离散型随机变量，若$(X,Y)$的联合分布为$P\lbrace X=x_{i}, Y=y_{j}\rbrace=p_{i j} \quad(i, j=1,2, \cdots)$，由于$P\lbrace X=x_{i}\rbrace=\sum_{j} P\lbrace X=x_{i}, Y=y_{j}\rbrace =\sum_{j} p_{i j}$，令$p_{i\cdot}=\sum_jp{ij}$，则关于$X$的边缘分布为:$X$ $x_1$ $x_2$ $\cdots$ $x_i$ $\cdots$ $P\lbrace X=x_i\rbrace$ $P_{1\cdot}$ $P_{2\cdot}$ $\cdots$ $P_{i\cdot}$ $\cdots$
关于$X$的边缘分布函数为:
$$F_{X}(x)=\sum_{x_{i} \leq x} p_{i \cdot},-\infty < x <+\infty$$关于$Y$同理，不赘述。
- 连续型情形
边缘分布函数:
$$F_{X}(x)=\int_{-\infty}^{x} d x \int_{-\infty}^{+\infty} f(x, y) d y\quad, -\infty < x < +\infty\F_{Y}(y)=\int_{-\infty}^{y} d y \int_{-\infty}^{+\infty} f(x, y) d x\quad ,-\infty < y < +\infty$$边缘密度函数:
$$f_{X}(x)=\frac{d}{d x} F_{X}(x)=\int_{-\infty}^{+\infty} f(x, y) d y\quad,-\infty < x < +\infty\f_{Y}(y)=\frac{d}{d y} F_{Y}(y)=\int_{-\infty}^{+\infty} f(x, y) d x\quad,-\infty < y <+\infty$$
6.随机变量的相对独立性
- 定义
设$F(x,y)$及$F_X(x),F_Y(y)$分别为二维随机变量$(X,Y)$的分布函数及边缘分布函数，若对于所有实数$(x,y)$，有:
$$P\lbrace X \leq x, Y \leq y\rbrace=P\lbrace X \leq x\rbrace P\lbrace Y \leq y\rbrace$$即:
$$F(x, y)=F_{X}(x) F_{Y}(y)$$则称$X$与$Y$是相互独立的。
