【概率统计】二维随机变量

1.二维随机变量

  • 定义
    设$X,Y$是定义在样本空间$\Omega$上的两个随机变量,则$(X,Y)$称为二维随机变量。
  • 说明
    二维随机变量$(X,Y)$的性质与$X,Y$有关,还依赖于$X$与$Y$的相互关系。

2.二维随机变量的分布函数

  • 定义
    对于任意实数$x,y$,函数$F(x, y)=P\lbrace X \leq x, Y \leq y\rbrace$称为二维随机变量$(X,Y)$的分布函数,或称为随即比那辆$X$和$Y$的联合分布函数。
  • 推广
    点$(X,Y)$落入任一矩形$G=\lbrace (x, y) | x_{1} < x < x_{2}, y_{1} < y < y_{2}\rbrace$的概率$P\lbrace x_{1} < X < x_{2}, y_{1} < Y < y_{2}\rbrace =F\left(x_{2}, y_{2}\right)-F\left(x_{1}, y_{2}\right)-F\left(x_{2}, y_{1}\right)+F\left(x_{1}, y_{1}\right)$。
  • 性质
  1. $0 \leq F(x,y) \leq 1$且对任意固定$y$,$F(-\infty,y)=0$,对任意固定$x$,$F(x,-\infty)=0$,$F(-\infty,-\infty)=0$,$F(+\infty,+\infty)=1$。
  2. $F(x,y)$是$x$或$y$的不减函数。
  3. $F(x+0, y)=F(x, y), F(x, y+0)=F(x, y)$
  4. 对任意的$\left(x_{1}, y_{1}\right),\left(x_{2}, y_{2}\right), x_{1}<x_{2}, y_{1}<y_{2}$,有$F\left(x_{2}, y_{2}\right)-F\left(x_{1}, y_{2}\right)-F\left(x_{2}, y_{1}\right)+F\left(x_{1}, y_{1}\right) \geq 0$。

3.二维离散型随机变量

若二维随机变量$(X,Y)$的可能取值$(x_i,y_j)$只有有限对或可列无限对,则称$(X,Y)$是二维离散型随机变量。记:
$$P \lbrace X=x_{i}, Y=y_{j} \rbrace =p_{i j}\quad, i, j=1,2, \dots$$并称为二维离散型随机变量$(X,Y)$的分布律或称为随机变量$X$和$Y$的联合分布律
其中,$p_{ij}$满足:
$$\begin{array}{ll}
\text { (1) } p_{i j} \geq 0 & \text { (2) } \sum_{i=1}^{\infty} \sum_{j=1}^{\infty} p_{i j}=1
\end{array}$$离散型随机变量$X,Y$,它们的联合分布律克表示为下表:

$y_1$ $y_2$ $\cdots$ $y_j$ $\cdots$
$x_1$ $p_{11}$ $p_{12}$ $\cdots$ $p_{1j}$ $\cdots$
$x_2$ $p_{21}$ $p_{22}$ $\cdots$ $p_{2j}$ $\cdots$
$\cdots$ $\cdots$ $\cdots$ $\cdots$ $\cdots$ $\cdots$
$x_i$ $p_{i1}$ $p_{i2}$ $\cdots$ $p_{ij}$ $\cdots$
$\cdots$ $\cdots$ $\cdots$ $\cdots$ $\cdots$ $\cdots$

其联合分布函数:
$$F(x, y)=\sum_{x_{i} \leq x} \sum_{y_{j} \leq y} p_{i j}$$

4.二维连续型随机变量

  • 定义
    设$(X, Y)$为二维随机变量, $F(x, y)$为$(X, Y)$的分布函数。若存在一个非负函数$f(x, y)$,对于任意的$(x, y)$都有:
    $$F(x, y)=\int_{-\infty}^{x} \mathrm{d} x \int_{-\infty}^{y} f(x, y) \mathrm{d} y$$则称随机变量$(X, Y)$为二维连续型随机变量,并称$f(x, y)$为$(X, Y)$的联合密度函数
  • 性质
  1. $f(x,y)\geq 0$
  2. $\int_{-\infty}^{+\infty} \mathrm{d} x \int_{-\infty}^{+\infty} f(x, y) \mathrm{d} y$
  3. 在$F(x,y)$二阶混合偏导存在处,有:
    $$\frac{\partial^{2} F}{\partial x \partial y}(x, y)=f(x, y)$$
  4. 设$D$是$xOy$平面上的区域,点$(X,Y)$落在区域$D$内的概率为:
    $$P\lbrace(X, Y) \in D\rbrace=\iint_{D} f(x, y) d x d y$$

5.边缘分布

  • 离散型情形
    对离散型随机变量,若$(X,Y)$的联合分布为$P\lbrace X=x_{i}, Y=y_{j}\rbrace=p_{i j} \quad(i, j=1,2, \cdots)$,由于$P\lbrace X=x_{i}\rbrace=\sum_{j} P\lbrace X=x_{i}, Y=y_{j}\rbrace =\sum_{j} p_{i j}$,令$p_{i\cdot}=\sum_jp{ij}$,则关于$X$的边缘分布为:

    $X$ $x_1$ $x_2$ $\cdots$ $x_i$ $\cdots$
    $P\lbrace X=x_i\rbrace$ $P_{1\cdot}$ $P_{2\cdot}$ $\cdots$ $P_{i\cdot}$ $\cdots$

关于$X$的边缘分布函数为:
$$F_{X}(x)=\sum_{x_{i} \leq x} p_{i \cdot},-\infty < x <+\infty$$关于$Y$同理,不赘述。

  • 连续型情形
    边缘分布函数:
    $$F_{X}(x)=\int_{-\infty}^{x} d x \int_{-\infty}^{+\infty} f(x, y) d y\quad, -\infty < x < +\infty\F_{Y}(y)=\int_{-\infty}^{y} d y \int_{-\infty}^{+\infty} f(x, y) d x\quad ,-\infty < y < +\infty$$边缘密度函数:
    $$f_{X}(x)=\frac{d}{d x} F_{X}(x)=\int_{-\infty}^{+\infty} f(x, y) d y\quad,-\infty < x < +\infty\f_{Y}(y)=\frac{d}{d y} F_{Y}(y)=\int_{-\infty}^{+\infty} f(x, y) d x\quad,-\infty < y <+\infty$$

6.随机变量的相对独立性

  • 定义
    设$F(x,y)$及$F_X(x),F_Y(y)$分别为二维随机变量$(X,Y)$的分布函数及边缘分布函数,若对于所有实数$(x,y)$,有:
    $$P\lbrace X \leq x, Y \leq y\rbrace=P\lbrace X \leq x\rbrace P\lbrace Y \leq y\rbrace$$即:
    $$F(x, y)=F_{X}(x) F_{Y}(y)$$则称$X$与$Y$是相互独立的。
暂无评论

发送评论 编辑评论


|´・ω・)ノ
ヾ(≧∇≦*)ゝ
(☆ω☆)
(╯‵□′)╯︵┴─┴
 ̄﹃ ̄
(/ω\)
∠( ᐛ 」∠)_
(๑•̀ㅁ•́ฅ)
→_→
୧(๑•̀⌄•́๑)૭
٩(ˊᗜˋ*)و
(ノ°ο°)ノ
(´இ皿இ`)
⌇●﹏●⌇
(ฅ´ω`ฅ)
(╯°A°)╯︵○○○
φ( ̄∇ ̄o)
ヾ(´・ ・`。)ノ"
( ง ᵒ̌皿ᵒ̌)ง⁼³₌₃
(ó﹏ò。)
Σ(っ °Д °;)っ
( ,,´・ω・)ノ"(´っω・`。)
╮(╯▽╰)╭
o(*////▽////*)q
>﹏<
( ๑´•ω•) "(ㆆᴗㆆ)
😂
😀
😅
😊
🙂
🙃
😌
😍
😘
😜
😝
😏
😒
🙄
😳
😡
😔
😫
😱
😭
💩
👻
🙌
🖕
👍
👫
👬
👭
🌚
🌝
🙈
💊
😶
🙏
🍦
🍉
😣
Source: github.com/k4yt3x/flowerhd
颜文字
Emoji
小恐龙
花!
上一篇
下一篇
隐藏
变装