0.问题简介
由于资源的有限性，当今世界各国都注意有计划地控制人口的增长，为了得到人口预测模型，必须首先搞清影响人口增长的因素，而影响人口增长的因素很多，如人口的自然出生率、人口的自然死亡率、人口的迁移、自然灾害、战争等诸多因素，如果一开始就把所有因素都考虑进去，则无从下手。因此，先把问题简化，建立比较粗糙的模型，再逐步修改，得到较完善的模型。
1.Malthus模型
- 模型假设
1.时刻$t$的人口为$N(t)$
2.净相对增长率为$r$
3.$N(t)$为连续变量 - 模型建立
按照Malthus理论，在$t$到$t+\Delta t$事件内人口增长量为$N(t+\Delta t)-N(t)=rN(t)\Delta t$，令$\Delta t\rightarrow 0$，则得到微分方程:
$$\frac{dN}{dt}=rN\quad (1)$$若记起始时刻$(t=0)$的人口为$N_0$，则有:
$$\begin{cases}\frac{dN}{dt}-rN\\left.N\right|{t=0}=N{0}\end{cases}\quad(2)$$ - 模型求解
clear
clc
syms N(t) r N0
dsolve('DN = r * N', 'N(0) = N0')
解得
$$N(t)=N_0e^{rt}\quad(3)$$
- 模型分析
如果$r>0$，由(3)可知人口将以指数规律增长，当$t\rightarrow\infty$时，$N(t)\rightarrow\infty$，这似乎不太可能。 - 模型检验
据估计1961年地球上的人口总数为$3.6\times 10^9$，而在以后7年中，人口总数以每年2%的速度增长，这样$t_0=1961,N_0=3.6\times 10^9,r=0.02$，于是:
$$N(t)=3.06\times 10^9e^{0.02(t-1961)}$$这个公式非常准确地反映了在1700—1961年间世界人口总数。因为这期间地球上的人口大约每35年翻一番，而上式断定34.6年增加一倍。但是，后来人们以美国人口为例，用马尔萨斯模型计算结果与人口资料比较，却发现有很大的差异，尤其是在用此模型预测较遥远的未来地球人口总数时，发现更令人不可思议的问题，如按此模型计算，到2670年，地球上将有36000亿人口。如果地球表面全是陆地（事实上，地球表面还有80%被水覆盖），我们也只得互相踩着肩膀站成两层了，这是非常荒谬的，因此，这一模型应该修改。
2.Logistic模型
- 模型假设
1.自然条件所能容许的最大人口数为$N_m$
2.时刻$t$的人口为$N(t)$
3.净相对增长率$r(1-\frac{N(t)}{N_m})$
4.$N(t)$为连续变量 - 模型建立
$$\begin{cases}\frac{dN}{dt}=r(1-\frac{N}{N_0})N\N(t_0)=N_0\end{cases}$$ - 模型求解
clear
clc
syms N(t) N0 Nm r
dsolve('DN = r * (1 - N / Nm) * N', 'N(0) = N0')
解得:
$$N=\frac{N_m}{1+(\frac{N_m}{N_0}-1)e^{-rt}}$$
- 模型分析
- 当$t\rightarrow\infty,N(t)\rightarrow N_m$，即无论人口初值如何，人口总数趋向于极限值$N_m$
- 当$0 < N < N_m$时，$\frac{\mathrm{d} N}{\mathrm{d} t}=r\left(1-\frac{N}{N_{m}}\right) N>0$，这说明$N(t)$是时间$t$的单调递增函数，当取$N_m=10,N_0=1,r=0.1$时，可由MATLAB作出图像:
clear
clc
ezplot('10 / (1 + (10 - 1) * exp(-0.1 * t))', [0, 100])
hold on
ezplot('10', [0, 100])
- 由于$\frac{\mathrm{d}^{2} N}{\mathrm{d} t^{2}}=r^{2}\left(1-\frac{N}{N_{m}}\right)\left(1-\frac{2 N}{N_{m}}\right) N$，所以当$N<\frac{N_m}{2}$时，$\frac{\mathrm{d}^2N}{\mathrm{d}t^2}>0$，$\frac{\mathrm{d}N}{\mathrm{d}t}$单增；当$N>\frac{N_m}{2}$时，$\frac{\mathrm{d}^{2} N}{\mathrm{d} t^{2}}<0$，$\frac{\mathrm{d} N}{\mathrm{d} t}$单减。即人口增长率$\frac{\mathrm{d} N}{\mathrm{d} t}$由增变减，在$\frac{N_m}{2}$处最大。也就是说在人口总数达到极限值一半以前是加速生长期，过这一点后,生长的速率逐渐变小，并且迟早会达到零，这是减速生长期。
