【数学建模】微分方程建模

1.简介

  • 微分方程模型的作用
    1.描述对象特征随时间(空间)的演变过程。
    2.分析对象特征的变化规律。
    3.预报对象特征的未来性态。
    4.研究控制对象特征的手段。
  • 微分方程建模的方法
    1.根据函数及其变化率之间的关系确定函数。
    2.根据建模目的和问题分析作出简化假设。
    3.按照内在规律或用类比法建立微分方程。
  • 微分方程建模的对象
    涉及“改变”、“变化”、“增加”、“减少”、“衰变”、“边际”、“速度”、“运动”、“追赶”、“逃跑”等等词语的确定性连续问题。
  • 微分方程建模的基本手段
    微元法及物理定律等。

2.微分方程建模的类型

1.常微分方程,即未知函数为一元函数,如:
$$y^{(n)}=f\left(x ; y, y^{\prime}, \ldots, y^{(n-1)}\right)$$2.偏微分方程,即未知函数为多元函数,如:
$$u_{t}=a^{2}\left(u_{x x}+u_{y y}\right)$$

3.微分方程建模的一般步骤

  • 模型建立
    1.确定未知函数。
    2.基于机理分析(微元法等)建立关于未知函数的微分方程。
    3.建立定解条件、初始条件或边界条件。
    4.写出模型(方程+条件)。
  • 模型求解(解析解、数值解)
    1.将方程离散化为差分格式或有限元。
    2.将定解条件离散化。
    3.建立问题(模型)的离散化代数方程(差分方程)通常是非线性方程组。
    4.确定参数。
    5.建立算法求解非线性代数方程。
    6.给出结果。
    7.分析截断误差,计算误差、灵敏度分析,稳定性、收敛性等。

4.建立数学模型的几种方法

  • 利用题目本身给出的或隐含的等量关系建立微分方程模型
  • 从一些已知的基本定律或基本公式出发建立微分方程模型
  • 利用导数的定义建立微分方程模型
    $$f^{\prime}(x)=\lim _{\Delta x \rightarrow 0} \frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}=\lim _{\Delta x \rightarrow 0} \frac{\Delta y}{\Delta x}$$
  • 利用微元法建立微分方程模型
  • 熟悉一些经典的微分方程模型,对一些类似的问题,经过稍加改进或直接套用这些模型
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