【概率统计】随机事件与概率(一)

1.样本点与样本空间

  • 样本点

    随机试验E的每个直接结果,常用\omega表示。

  • 样本空间

    E的全体样本点构成的集合,常用\Omega表示。

\begin{equation}
\Omega=\{\omega\}
\end{equation}

注意:

  1. 样本空间是一个集合,它是由样本点这些元素构成的,可以用列举法或者描述法表示。

  2. 在样本空间中,样本点数可以是有限个,也可以是无限个。

  3. 在同样的试验条件下,试验目的不同,样本空间也不同。

2.随机事件

  • 定义

    试验E的样本空间\Omega的子集称为E的随机事件。随机时间简称事件,常用A、B、C等表示。每一个样本点都是一个基本事件。由多个样本点构成的事件为复合事件

  • 必然事件

    在每次试验中必然会发生的事件,用\Omega表示。样本空间是必然事件

  • 不可能事件

    在每次试验中都不可能发生的事件,用\Phi表示。空集是不可能事件

3.事件的关系

  • 子事件(A\subset B)

    事件A发生一定导致B发生。

  • 相等事件(A=B)
    \begin{equation}
    (A=B)\iff\begin{cases}A\subset B \\ B\subset A\end{cases}
    \end{equation}

  • 和事件(A\cup B)

    A发生或者B发生。

  • 积事件(A\cap BAB)

    A和B同时发生。

  • 互斥(互不相容)事件(AB=\Phi)

    A和B不同时发生。当AB互斥时,可将A\cup B记为A+B

  • 互逆(对立)事件

    (AB-\varnothing)\land (A\cup B=\Omega),A发生当且仅当B不发生。
    A的对立事件记为\overline A

  • 差事件(A-B)

    A-B=A-AB=A\overline{B},A发生而B不发生。

4.事件的运算

  • 交换律
    \begin{equation}
    A\cup B=B\cup A, A\cap B=B\cap A
    \end{equation}

  • 结合律
    \begin{equation}
    A\cup(B\cup C)=(A\cup B)\cup C, A\cap(B\cap C)=(A\cap B)\cap C
    \end{equation}

  • 分配律
    \begin{equation}
    A\cup(B\cap C)=(A\cup B)\cap(A\cup C), A\cap(B\cup C)=(A\cap B)\cup(A\cap C)
    \end{equation}

  • 对偶律(德摩根定律)
    \begin{equation}
    \overline{A\cup B}=\overline{A}\cap\overline{B}, \overline{A\cap B}=\overline{A}\cup\overline{B}
    \end{equation}

5.概率的定义

  • 频率的定义

    在相同的条件下,进行了n次试验,如果事件A在者n次重复试验中出现了n_A次,则称比值\frac{n_A}{n}为事件A发生的频率。
    \begin{equation}
    f_n(A)=\frac{n_A}{n}
    \end{equation}
    频率反映了随机事件A发生的频繁程度。

  • 概率的统计定义

    事件A发生的频率稳定值p,成为A发生的概率,记为P(A)。

    当n充分大时,可以用频率作为概率的近似值,这种确定概率的方法称为频率方法。

  • 频率的性质

    1. 非负有界性
      \begin{equation}
      0\le f_n(A)\le 1
      \end{equation}

    2. 规范性
      \begin{equation}
      f_n(\Omega)=1
      \end{equation}

    3. 有限可加性
      A_1,A_2,...A_k是一组两两互斥的事件:

  • 概率的公理化定义

    \Omega随机试验E的样本空间,对于该随机试验的每一个事件A赋予一个实数,记为P(A),成为事件A的概率,如果集合函数P(·)满足下列公理:

    1. 非负有界性
      \begin{equation}
      0\le P(A)\le 1
      \end{equation}

    2. 规范性
      \begin{equation}
      P(\Omega)=1
      \end{equation}

    3. 可列可加性
      若A_1,A_2,…两两互斥:
      \begin{equation}
      P(A_1\cup A_2\cup …)=P(A_1)+P(A_2)+…
      \end{equation}
      公理3对于有限个两两互斥的事件仍然成立。

6.概率的性质

  • 性质1:

\begin{equation}
P(\varnothing)=0
\end{equation}

  • 性质2:
    对任意A,有:
    \begin{equation}
    P(A)=1-P(\overline{A})
    \end{equation}

  • 性质3(减法公式):
    对任意A,B有:
    \begin{equation}
    P(A-B)=P(A)-P(AB)
    \end{equation}

  • 性质4(广义加法公式):
    \begin{equation}
    P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(AB)\
    \end{equation}

  • 推论1:
    \begin{equation}
    A\supset B\to P(A-B)=P(A)-P(B)
    \\
    P(A\cup B\cup C)=P(A)+P(B)+P(C)-P(AB)-P(AC)-P(BC)+P(ABC)
    \end{equation}

  • 推论2:
    \begin{equation}
    A\supset B\to P(A)\ge P(B)
    \end{equation}

7.古典概型

  • 古典概型的特征
    有限性: 试验的样本空间只含有限个样本点(基本事件)。
    等可能性: 试验中每个基本事件等可能发生。

  • 古典概率计算公式
    设随机试验E为古典概型,其样本空间为\Omega对于任意事件AmA中所含样本总数,n\Omega中所含样本总数,有:
    \begin{equation}
    P(A)=\frac{m}{n}
    \end{equation}

8.几何概型

  • 特征
    1.样本空间\Omega又无限个样本点。
    2.每个样本点对应的基本事件的发生是等可能的。

  • 定义
    设随机试验E的每个结果是等可能地落入区域\Omega上地一点M,且D\subset \Omega,则点落入区域D上的概率为P(A)=\frac{D的测度}{\Omega 的测度}为事件A发生的概率,叫几何概率。


暂无评论

发送评论 编辑评论


|´・ω・)ノ
ヾ(≧∇≦*)ゝ
(☆ω☆)
(╯‵□′)╯︵┴─┴
 ̄﹃ ̄
(/ω\)
∠( ᐛ 」∠)_
(๑•̀ㅁ•́ฅ)
→_→
୧(๑•̀⌄•́๑)૭
٩(ˊᗜˋ*)و
(ノ°ο°)ノ
(´இ皿இ`)
⌇●﹏●⌇
(ฅ´ω`ฅ)
(╯°A°)╯︵○○○
φ( ̄∇ ̄o)
ヾ(´・ ・`。)ノ"
( ง ᵒ̌皿ᵒ̌)ง⁼³₌₃
(ó﹏ò。)
Σ(っ °Д °;)っ
( ,,´・ω・)ノ"(´っω・`。)
╮(╯▽╰)╭
o(*////▽////*)q
>﹏<
( ๑´•ω•) "(ㆆᴗㆆ)
😂
😀
😅
😊
🙂
🙃
😌
😍
😘
😜
😝
😏
😒
🙄
😳
😡
😔
😫
😱
😭
💩
👻
🙌
🖕
👍
👫
👬
👭
🌚
🌝
🙈
💊
😶
🙏
🍦
🍉
😣
Source: github.com/k4yt3x/flowerhd
颜文字
Emoji
小恐龙
花!
上一篇
下一篇
隐藏
变装