【概率统计】随机事件与概率（一）

1.样本点与样本空间

\begin{equation}
\Omega=\{\omega\}
\end{equation}

注意:

定义

试验E的样本空间 $\Omega$ 的子集称为E的随机事件。随机时间简称事件，常用A、B、C等表示。每一个样本点都是一个基本事件。由多个样本点构成的事件为复合事件。
必然事件

在每次试验中必然会发生的事件，用 $\Omega$ 表示。样本空间是必然事件。
不可能事件

在每次试验中都不可能发生的事件，用 $\Phi$ 表示。空集是不可能事件。

子事件( $A\subset B$ )

事件A发生一定导致B发生。
相等事件( $A=B$ )
\begin{equation}
(A=B)\iff\begin{cases}A\subset B \\ B\subset A\end{cases}
\end{equation}
和事件( $A\cup B$ )

A发生或者B发生。
积事件( $A\cap B$ 或 $AB$ )

A和B同时发生。
互斥(互不相容)事件( $AB=\Phi$ )

A和B不同时发生。当AB互斥时，可将 $A\cup B$ 记为 $A+B$ 。
互逆(对立)事件

$(AB-\varnothing)\land (A\cup B=\Omega)$ ，A发生当且仅当B不发生。
A的对立事件记为 $\overline A$
差事件(A-B)

$A-B=A-AB=A\overline{B}$ ，A发生而B不发生。

交换律
\begin{equation}
A\cup B=B\cup A, A\cap B=B\cap A
\end{equation}
结合律
\begin{equation}
A\cup(B\cup C)=(A\cup B)\cup C, A\cap(B\cap C)=(A\cap B)\cap C
\end{equation}
分配律
\begin{equation}
A\cup(B\cap C)=(A\cup B)\cap(A\cup C), A\cap(B\cup C)=(A\cap B)\cup(A\cap C)
\end{equation}
对偶律(德摩根定律)
\begin{equation}
\overline{A\cup B}=\overline{A}\cap\overline{B}, \overline{A\cap B}=\overline{A}\cup\overline{B}
\end{equation}

频率的定义

在相同的条件下，进行了n次试验，如果事件A在者n次重复试验中出现了 $n_A$ 次，则称比值 $\frac{n_A}{n}$ 为事件A发生的频率。
\begin{equation}
f_n(A)=\frac{n_A}{n}
\end{equation}
频率反映了随机事件A发生的频繁程度。
概率的统计定义

事件A发生的频率稳定值p，成为A发生的概率，记为P(A)。

当n充分大时，可以用频率作为概率的近似值，这种确定概率的方法称为频率方法。
频率的性质
1. 非负有界性
  \begin{equation}
  0\le f_n(A)\le 1
  \end{equation}
2. 规范性
  \begin{equation}
  f_n(\Omega)=1
  \end{equation}
3. 有限可加性
  若 $A_1,A_2,...A_k$ 是一组两两互斥的事件:
概率的公理化定义

设 $\Omega$ 随机试验E的样本空间，对于该随机试验的每一个事件A赋予一个实数，记为 $P(A)$ ，成为事件A的概率，如果集合函数 $P(\cdot)$ 满足下列公理:
1. 非负有界性
  \begin{equation}
  0\le P(A)\le 1
  \end{equation}
2. 规范性
  \begin{equation}
  P(\Omega)=1
  \end{equation}
3. 可列可加性
  若A_1,A_2,…两两互斥:
  \begin{equation}
  P(A_1\cup A_2\cup …)=P(A_1)+P(A_2)+…
  \end{equation}
  公理3对于有限个两两互斥的事件仍然成立。

\begin{equation}
P(\varnothing)=0
\end{equation}

性质2:
对任意A，有:
\begin{equation}
P(A)=1-P(\overline{A})
\end{equation}
性质3(减法公式):
对任意A,B有:
\begin{equation}
P(A-B)=P(A)-P(AB)
\end{equation}
性质4(广义加法公式):
\begin{equation}
P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(AB)\
\end{equation}
推论1:
\begin{equation}
A\supset B\to P(A-B)=P(A)-P(B)
\\
P(A\cup B\cup C)=P(A)+P(B)+P(C)-P(AB)-P(AC)-P(BC)+P(ABC)
\end{equation}
推论2:
\begin{equation}
A\supset B\to P(A)\ge P(B)
\end{equation}

古典概型的特征
有限性: 试验的样本空间只含有限个样本点(基本事件)。
等可能性: 试验中每个基本事件等可能发生。
古典概率计算公式
设随机试验 $E$ 为古典概型，其样本空间为 $\Omega$ 对于任意事件 $A$ ， $m$ 为 $A$ 中所含样本总数， $n$ 为 $\Omega$ 中所含样本总数，有:
\begin{equation}
P(A)=\frac{m}{n}
\end{equation}

特征
1.样本空间 $\Omega$ 又无限个样本点。
2.每个样本点对应的基本事件的发生是等可能的。
定义
设随机试验 $E$ 的每个结果是等可能地落入区域 $\Omega$ 上地一点 $M$ ，且 $D\subset \Omega$ ，则点落入区域 $D$ 上的概率为 $P(A)=\frac{D的测度}{\Omega 的测度}$ 为事件 $A$ 发生的概率，叫几何概率。