1.随机变量
- 定义
设随机试验$E$的样本空间为$\Omega$,样本点为$\omega$。如果对于任意一个$\omega\in\Omega$，总有一个实数$X(\omega)$与之对应，则称定义于样本空间$\Omega$上的单值实函数$X(\omega)$为随机变量，一般简写为$X$。
- 分类
随机变量可分为离散型随机变量和连续性随机变量。
2.一维离散型随机变量及其分布列
- 一维离散型随机变量
如果随机变量的全部可能取的值只有有限个或可列无限多个，则称这种随机变量为一维离散型随机变量。
- 概率分布（分布律）
称$P\left(X=x_{i}\right)=p_{i}, \space i=1,2, \cdots$为$X$的概率分布（分布律）。
| $X$ |
$x_1$ |
$x_2$ |
$\cdots$ |
$x_n$ |
$\cdots$ |
| $P$ |
$p_1$ |
$p_2$ |
$\cdots$ |
$p_n$ |
$\cdots$ |
$(1) 0 \leq p_{i} \leq 1 ; \quad(2) \sum_{i} p_{i}=1$
3.0-1分布
- 定义
在一次试验中，事件$A$发生的概率为$p$，不发生的概率为$q=1-p$, 若以$X$记随机事件$A$发生的次数，则称$X$服从$(0-1)$分布，并记为$X～(0-1)$分布。
| $X$ |
$0$ |
$1$ |
| $P$ |
$1-p$ |
$p$ |
4.几何分布
- 定义
设随机变量$X$的分布律为$P(X=k)=(1-p)^{k-1} p, k=1,2, \cdots$，则称设随机变量$X$服从几何分布，即随机变量$X$分布律可以列表为:
| $X$ |
$1$ |
$2$ |
$\cdots$ |
$k$ |
$\cdots$ |
| $P$ |
$p$ |
$(1-p)p$ |
$\cdots$ |
$(1-p)^{k-1} p$ |
$\cdots$ |
- 特点
$P{X=k} \geq 0$，$\sum_{k=1}^{\infty} P{X=k}=1$
5.二项分布
- 定义
在$n$重伯努里试验中，记$X$表示事件$A$出现的次数，$X$可能的取值为$0,1,2,\cdots ,n$，$A$发生的概率为$p$，则$X$的概率分布为：
$$P(X=k)=B_{n}(k)=C_{n}^{k} p^{k}(1-p)^{n-k},(k=0, \cdots, n)$$
则称$X$服从参数为$n,p$的二项分布，记为$X～B(n,p)$。
6.泊松(Poisson)分布
- 定义
若变量$X$的分布律为:
$$P(X=k)=\frac{\lambda^{k}}{k !} e^{-\lambda},(k=0,1, \cdots, \lambda>0)$$
则称$X$服从参数为$\lambda$的泊松分布，记为$X \sim P(\lambda)$。
- 泊松定理
设随机变量${X}{n} \sim{B}\left({n}, {p}{n}\right)$（这里的$p_n$是与$n$有关的数，$bp_n=\lambda>0$是常数），$n=1,2,\cdots$，则有:
$$\lim {n \rightarrow \infty} P\lbrace X{n}=k\rbrace =\frac{\lambda^{k}}{k !} e^{-\lambda}, k=0,1, \cdots, n, \cdots$$
该定理表示当$n$充分大时，$P\lbrace X_{n}=k\rbrace \approx \frac{\lambda^{k} e^{-\lambda}}{k !}$，在实际问题中，当$n \geq 10, p_{n} \leq 0.1$，就可采取简化。
- 证明
$$\begin{aligned}
&\because p_{n}=\frac{\lambda}{n}\
&\therefore C_{n}^{k} p_{n}^{k}\left(1-p_{n}\right)^{n-k}\
&=\frac{n(n-1) \cdots(n-k+1)}{k !}\left(\frac{\lambda}{n}\right)^{k}\left(1-\frac{\lambda}{n}\right)^{n-k}\
&=\frac{\lambda^{k}}{k !}\left[1 \cdot\left(1-\frac{1}{n}\right) \cdots\left(1-\frac{k-1}{n}\right)\right]\left(1-\frac{\lambda}{n}\right)^{n}\left(1-\frac{\lambda}{n}\right)^{-k}
\end{aligned}$$
对任一固定的$k$，当$n \rightarrow \infty$时:
$$\begin{aligned}
&\left(1-\frac{\lambda}{n}\right)^{n} \rightarrow e^{-\lambda},\left(1-\frac{\lambda}{n}\right)^{-k} \rightarrow 1\
&\left(1-\frac{1}{n}\right)\left(1-\frac{2}{n}\right) \cdots\left(1-\frac{k-1}{n}\right) \rightarrow 1
\end{aligned}$$
故:
$$\lim {n \rightarrow \infty} C{n}^{k} p_{n}^{k}\left(1-p_{n}\right)^{n-k}=\frac{\lambda^{k} e^{-\lambda}}{k !}$$
