【数学建模】SEIR传染病模型

本模型建立于2月6日,因为懒一直没写博文。本文未注明部分皆原创内容。

0.引言

近期,疫情肆虐,每个人都在盼望疫情早日得到控制。网上也出现了很多预测,其中有相当一部分预测是基于传染病模型的。由于本人是数学建模初学者,做不到精准的建模,本文通过SEIR模型研究传染病的发展趋势以及各种因素对传染病发展的影响。

1.传染病模型

传染病模型是传染病的基本数学模型,研究传染病的传播速度、空间范围、传播途径、动力学机理等问题,以指导对传染病的有效地预防和控制。常见的传染病模型按照传染病类型分为 SI、SIR、SIRS、SEIR 模型等,按照传播机理又分为基于常微分方程、偏微分方程、偏微分方程、网络动力学的不同类型。 (出处)

2.SEIR模型

SEIR模型是一种典型的传染病数学模型数学模型。在此模型中,将人群分为以下四类:

  • 易感者(Susceptible)

    易感者即尚未患病的人群,且有与病患接触的可能性。记为S

  • 潜伏者(Exposed)

    潜伏着即处于疾病潜伏期期的无症状模型。新型冠状病毒潜伏期也具有传染性。记为E

  • 感染者(Infected)

    感染者即被感染人群。记为I

  • 康复者(Recovered)

    康复者即痊愈病患。本模型认为康复者不会再次被感染。记为R

由于接触、隔离和治疗,这四类人群是可以相互转化的。为了简化模型,我们以固定的概率来体现转化,如图所示: (来源) (本文所用的符号与图中又差别,详见下文)

_images/SEIR-SEIRS.png

3.模型建立

  • 符号解释

    S······易感者\\E······潜伏者\\I······感染者\\R······康复者\\r······每日每人接触到的人数\\\beta······易感者被感染者感染的概率\\\beta_1······易感者被潜伏者感染的概率\\\alpha······潜伏者转化为感染者的概率(潜伏期的倒数)\\\gamma······康复概率\\N······总人数
  • 模型详情

    \frac{dS}{dt}=-\frac{r(\beta I+\beta_1E)S}{N}\\\frac{dE}{dt}=\frac{r(\beta I+\beta_1E)S}{N}-\alpha E\\\frac{dI}{dt}=\alpha E-\gamma I\\\frac{dR}{dt}=\gamma I
  • 整理为迭代形式

    S_n=S_{n-1}-\frac{r(\beta I_{n-1}+\beta_1 E_{n-1})S_{n-1}}{N}\\E_n=E_{n-1}+\frac{r(\beta I_{n-1}+\beta_1 E_{n-1})S_{n-1}}{N}-\alpha E_{n-1}\\I_n=I_{n-1}+\alpha E_{n-1}-\gamma I_{n-1}\\R_n=R_{n-1}+\gamma I_{n-1}

    4.代码详情

% seir_model_simulate.m
function seir_model_simulate()
    clear();
    N = 10000;
    I = 1; %infectious
    S = N - I; %susceptible
    R = 0; %recovered
    E = 0; %exposed

    r = 20; %接触数
    beta = 0.03; %被感染者传染
    beta_1 = 0.02; %被潜伏着传染
    alpha = 0.1; %潜伏期10天
    gamma = 0.1; %康复概率

    T = 1:150;
    for i = 1:length(T) - 1
        S(i + 1) = S(i) - r * (beta * I(i) + beta_1 * E(i)) * S(i) / N;
        E(i + 1) = E(i) + r * (beta * I(i) + beta_1 * E(i)) * S(i) / N - alpha * E(i);
        I(i + 1) = I(i) + alpha * E(i) - gamma * I(i);
        R(i + 1) = R(i) + gamma * I(i);
    end

    plot(T,S,T,E,T,I,T,R);
    grid on;
    xlabel('天'); ylabel('人数')
    legend('易感者','潜伏者','传染者','康复者')
end

5.结果与分析

使用上文代码中的数据,得到的结果如下图:

file

如果人们减少出行,做好防护,数据修改如下:

r = 3; %接触数
beta = 0.02; %传染概率
beta_1 = 0.01; %潜伏者传染概率 

结果如下图:

file

可以看到感染规模大幅减少,曲线基本消失。

虽然本模型有很多漏洞,并且有很多细节未顾及到,但是也可以看出少聚集,强防护是最好的预防。目前疫情有缓和的趋势,但是仍然不能掉以轻心


本文主要参考《简单算算,你宅在家里究竟能为抗击肺炎疫情做出多大贡献?》

评论

  1. 123
    Windows Chrome 70.0.3538.25
    2月前
    2020-8-18 14:43:08

    就我自己加载不出图来吗

    • van_fantasy
      Windows Chrome 84.0.4147.125
      2月前
      2020-8-18 17:02:39

      抱歉,本文年久失修,途中博客进行了改版更新,图源和公式显示都挂掉了,我会找时间修复

      • 123
        Windows Edge 18.18363
        2月前
        2020-8-19 17:13:25

        那大佬这个文章的图源还有吗,江湖救急

        • van_fantasy
          Android Chrome 83.0.4103.106
          2月前
          2020-8-19 17:18:14

          你急的话,可以右键审查元素。如果url是www.tigerxly.com…的话,把www改成blog即可。如果是外部图源挂了那我也无能为力了,抱歉。

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